practice57｜第21章 对策论自测

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practice57｜第21章 对策论自测

三题覆盖情境判断 / 概念辨析 / 综合连接。做完对照 " 教材依据 " 与 " 参考答案解读 "，再用底部自评表打分。

题目一（情境判断）

甲、乙矩阵对策，甲方赢得矩阵如下（甲得分）：

甲＼乙	β₁	β₂	β₃
α₁	4	3	5
α₂	2	1	6
α₃	5	2	2

求：各行最小、各列最大、maximin、minimax，并判定鞍点与对策值（甲、乙各选什么策略）。

教材依据

鞍点判定：maximin = maxᵢ minⱼ aᵢⱼ；minimax = minⱼ maxᵢ aᵢⱼ；若二者相等 = v，则 (α\*,β\*) 为鞍点、对策值 v。

参考答案解读

• 各行最小：α₁: min(4,3,5)=3；α₂: min(2,1,6)=1；α₃: min(5,2,2)=2 → maximin = max(3,1,2) = 3（α₁）。
• 各列最大：β₁: max(4,2,5)=5；β₂: max(3,1,2)=3；β₃: max(5,6,2)=6 → minimax = min(5,3,6) = 3（β₂）。
• maximin(3) = minimax(3) → 鞍点存在，位于 (α₁,β₂)=3，对策值 v=3。
• 结论：甲选 α₁，乙选 β₂，甲稳得 3 分。

土木类比

像项目部布防 3 个风险点（β）、乙方攻其一（α）：甲每个方案最坏都备着（行最小），挑最坏里最好的 α₁ 兜底 3 分；乙每个点最多放甲到多少（列最大），挑最小让步的 β₂ 把甲锁 3 分。双方撞在 (α₁,β₂)。

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题目二（概念辨析）

关于矩阵对策的鞍点，下列说法正确的是（ ）

A. maximin = maxᵢ minⱼ aᵢⱼ，是站在乙方立场算的

B. minimax = minⱼ maxᵢ aᵢⱼ，是甲能给乙设的上限

C. 若 maximin = minimax = v，则 (α\*,β\*) 为鞍点、对策值为 v

D. 鞍点所在格一定是整个矩阵中的最大元素

教材依据

maximin 为甲方立场（行最大中最小）；minimax 为乙方立场（列最小中最大）；相等即得鞍点 v；鞍点是 " 行最小且列最大 "，未必全局最大。

参考答案解读

选 C。A 错：maximin 是甲方立场；B 错：minimax 是乙方立场，是乙能给甲设的上限（不是甲给乙）；D 错：鞍点只是 " 所在行最小、所在列最大 "，未必全局最大（如题一鞍点 3，而矩阵里有 6）。C 正是鞍点定义。

土木类比

" 行最大中最小 " 是甲自己最坏情况的保底；" 列最小中最大 " 是乙给甲设的天花板。两者相等才撞出均衡点, 这名 " 最稳妥的一招 " 未必是账面最高分，只是双方都不愿先动的那一格。

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题目三（综合连接）

甲、乙矩阵对策：

甲＼乙	β₁	β₂
α₁	2	5
α₂	4	1

算 maximin 与 minimax，并说明是否存在纯策略鞍点；若没有，该怎么办？

教材依据

若 maximin ≠ minimax，则无纯策略鞍点，需采用混合策略（双方按一定概率选择策略）。

参考答案解读

• 各行最小：α₁: min(2,5)=2；α₂: min(4,1)=1 → maximin = max(2,1) = 2。
• 各列最大：β₁: max(2,4)=4；β₂: max(5,1)=5 → minimax = min(4,5) = 4。
• 2 ≠ 4 → 无纯策略鞍点，应采用混合策略（双方按一定概率随机出招，使对方无法针对性克制）。考试若只考判定，答 " 无鞍点，需混合策略 " 即可。

土木类比

没有哪一格能让双方都 " 最稳妥地僵住 "，谁先固定出招都会被对方针对, 那就别固定，按概率轮换方案（像轮换巡检路线防风险），让对手摸不准。

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自评表（做完打勾 / 打分）

维度	自评分（1-5）	备注
我理解矩阵对策三要素（局中人/策略/赢得矩阵）
我会算 maximin（行最大中最小）
我会算 minimax（列最小中最大）
我知道 maximin = minimax 即鞍点/对策值
我知道不等号时无纯策略鞍点、需混合策略

低于 3 分的项目，回看 deepread57 的第 3 段和 calculate57 分步解题再巩固一遍。