practice51｜第21章 线性规划自测

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practice51｜第21章 线性规划自测

三题覆盖情境判断 / 概念辨析 / 综合连接。做完对照 " 教材依据 " 与 " 参考答案解读 "，再用底部自评表打分。

题目一（情境判断）

用图解法求 max Z = 2x₁ + x₂，约束：x₁ + x₂ ≤ 6，x₁ ≤ 4，x₁,x₂ ≥ 0。请列出可行域顶点并求最优解与最优值。

教材依据

线性规划图解法：可行域为凸多边形，最优解在顶点；枚举顶点代入目标比较。约束加松弛变等式后可用单纯形法。

参考答案解读

• 顶点：O(0,0)、A(4,0)（x₁=4∩x₂=0）、B(4,2)（x₁=4∩x₁+x₂=6→x₂=2）、C(0,6)（x₁=0∩x₁+x₂=6）。
• Z 值：O=0；A=2×4=8；B=2×4+2=10；C=6。
• 最优解 B(4,2)，Zmax=10。

土木画像提示

像用 4 台设备（x₁≤4）和总工时 6（x₁+x₂≤6）生产两种构件，A 构件单位产值 2、B 构件单位产值 1；边界方案里 (4 台 A 类 +2 台 B 类) 产值最高=10。

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题目二（概念辨析）

关于线性规划，下列说法正确的是（ ）

A. 线性规划的目标函数可以含 x₁×x₂ 这样的乘积项

B. 图解法中，最优解可能出现在可行域内部而不在顶点

C. 单纯形法中，松弛变量用于把 "≤" 约束变为等式约束

D. 单纯形表中 Cj−Zj 还有正值时，当前解已最优

教材依据

线性规划三要素（决策变量、目标函数、约束条件）须为线性；可行域为凸多边形，极值在顶点；松弛变量将≤变等式；Cj−Zj 全≤0 才最优。

参考答案解读

选 C。A 错：线性规划目标/约束必须线性（无乘积、平方项）；B 错：凸多边形上线性极值必在顶点（或整条边）；C 对：x₁+x₂≤5 加 s≥0 变 x₁+x₂+s=5；D 错：Cj−Zj 还有正值说明还能改进，未最优。

土木画像提示

" 线性 "= 比例关系，不能有 " 两变量相乘 "；最优一定在资源用尽的 " 边界方案 "（顶点）；松弛变量就是 " 还剩多少料 "；表还没全≤0 就继续迭代。

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题目三（综合连接）

某项目用单纯形法求解 max Z，得最终表如下（x₁,x₂ 为决策变量，s₁,s₂ 松弛）：

Basic	Cb	x₁	x₂	s₁	s₂	RHS
x₁	3	1	0	2	−1	2
x₂	5	0	1	−1	1	3

Cj−Zj 行已全 ≤0。求最优解与最优值，并说明是否最优。

教材依据

单纯形最终表：基变量所在列为单位向量，其 RHS 即取值；Cj−Zj 全≤0 表示已达最优；最优值 = Σ Cb×RHS。

参考答案解读

• 基变量 x₁=2、x₂=3（非基 s₁=s₂=0）。
• 最优解 (x₁,x₂)=(2,3)；最优值 Z = Cb(x₁)×2 + Cb(x₂)×3 = 3×2 + 5×3 = 6+15 = 21。
• Cj−Zj 全 ≤0 → 已最优。
• 校验：代入目标 3x₁+5x₂=3×2+5×3=21 ✓。

土木画像提示

最终表里 " 基变量 " 就是被选用的产量方案：x₁产 2、x₂产 3；总利润=各自单价×产量=21。表里 Cj−Zj 没正号，说明再加任何产品都不划算，到底了。

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自评表（做完打 √ / 打分）

维度	自评分（1-5）	备注
我能列出线性规划三要素
我会用图解法找顶点并枚举
我理解 " 最优在顶点 "
我会单纯形建表/选入基/选离基
我知 Cj−Zj 全≤0 即最优

低于 3 分的项目，回看 deepread51 的 ③ 段和 calculate51 分步解题再巩固一遍。