practice56｜第21章 排队论自测

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practice56｜第21章 排队论自测

三题覆盖情境判断 / 概念辨析 / 综合连接。做完对照 " 教材依据 " 与 " 参考答案解读 "，再用底部自评表打分。

题目一（情境判断）

某服务台 λ=3 人/小时，μ=6 人/小时（M/M/1）。求利用率 ρ、系统平均人数 Ls、平均等待时间 Wq。

教材依据

M/M/1：ρ=λ/μ；Ls=λ/(μ−λ)；Lq=ρ²/(1−ρ)；Ws=1/(μ−λ)；Wq=ρ/(μ−λ)。须 μ>λ。

参考答案解读

• ρ = 3/6 = 0.5。
• Ls = 3/(6−3) = 3/3 = 1 人。
• Lq = 0.5²/(1−0.5) = 0.25/0.5 = 0.5 人。
• Wq = 0.5/(6−3) = 0.5/3 ≈ 0.167 小时 = 10 分钟。
• （校验 Wq=Lq/λ=0.5/3≈0.167 ✓）

土木画像提示

像 1 个受理窗口，每小时来 3 单、能处理 6 单；台子半忙，平均 1 单在系统、等约 10 分钟，挺轻松。

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题目二（概念辨析）

关于 M/M/1 排队模型，下列说法正确的是（ ）

A. 第一个 M 表示服务时间服从指数分布

B. 指标仅在 λ ≥ μ 时才有意义

C. Lq = Ls − ρ（单服务台）

D. P(要等待) = 1 − ρ

教材依据

M/M/1：到达指数 (M)、服务指数 (M)、单台 (1)；须 λ\<μ；Lq=Ls−ρ；P(等待)=ρ。

参考答案解读

选 C。A 错：第一个 M 是 " 到达间隔指数（泊松到达）"，第二个 M 才是服务时间指数；B 错：须 λ\<μ（ρ\<1），否则队伍无限长、指标发散；C 对：单台时队列人数=系统人数−正被服务的占用率 ρ；D 错：P(等待)=ρ（台子忙的概率），P₀=1−ρ 才是空闲概率。

土木画像提示

"M/M/1"=来料随机、处理随机、单窗口；台子比来料慢（μ\<λ）就崩；排队人数=现场总数减 " 正在干的那点活 "；一来就得等的概率就是台子忙的比例。

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题目三（综合连接）

上题若把服务率从 μ=6 提到 μ=8（λ=3 不变），平均等待时间 Wq 变为多少？相比 μ=6 时的 10 分钟，说明什么？

教材依据

Wq=ρ/(μ−λ)，ρ=λ/μ；提高 μ（提效/加人）可显著降低等待。

参考答案解读

• μ=8：ρ=3/8=0.375；Wq=0.375/(8−3)=0.375/5=0.075 小时 = 4.5 分钟。
• μ=6 时 Wq≈10 分钟；μ=8 时 ≈4.5 分钟，等待几乎减半。
• 说明：在 ρ 不高时继续提效，等待时间下降明显；若已接近饱和（ρ→1），小幅提效效果会被 " 拥堵 " 放大，需更大幅度提 μ 或削 λ（分流）。

土木画像提示

受理窗口从每小时 6 单提速到 8 单，平均等待从 10 分钟降到 4.5 分钟, 提效对等待的杠杆很明显；但若台子已 90% 忙，再提速一点也难解堵，得加窗口或让部分人走自助。

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自评表（做完打 √ / 打分）

维度	自评分（1-5）	备注
我知 M/M/1 含义与 μ>λ
我会算 ρ、P₀、P(等待)
我会算 Ls、Lq
我会算 Ws、Wq
我用 Little 公式校验

低于 3 分的项目，回看 deepread56 的 ③ 段和 calculate56 分步解题再巩固一遍。