deepread7｜第10章 三点估算PERT与工期概率详解

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deepread7｜第10章 三点估算PERT与工期概率详解

定位

• 章节位置：第 10 章 项目进度管理 → 10.6.2 估算活动持续时间（三点估算）、10.7.2 计划评审技术 PERT。
• 知识链条：活动工期估不准时，用 " 乐观/最可能/悲观 " 三个值求期望与风险；把关键路径上各活动的期望相加、方差相加，再按正态分布估 " 某日前完工的概率 "。
• 考试分量：综合知识常考 "β分布 te=(a+4m+b)/6、三角分布 te=(a+m+b)/3、σ=(b-a)/6"；案例/计算题必考 " 给 a/m/b 求 te、求项目期望与标准差、查正态求完工概率 "。

教材原文精摘

摘自第 4 版教材第 10 章（术语保留原貌，可作原文依据）。

• 三点估算三值：乐观时间 (To)＝一切顺利时的工期；最可能时间 (Tm)＝正常情况下的工期；悲观时间 (Tp)＝最不利时的工期。
• 期望持续时间：三角分布 T=(To+Tm+Tp)/3；β分布 T=(To+4Tm+Tp)/6（高项默认用 β 分布）。
• PERT 法：假设活动持续时间及整个项目完成时间随机且服从正态分布。活动期望 ti=(ai+4mi+bi)/6；第 i 活动方差 = ((bi−ai)/6)²。
• 项目周期估算：整个项目完成时间 = 各活动完成时间之和，服从正态分布。数学期望 T=Σti，方差 σ²=Σ((bi−ai)/6)²，标准差 σ=√σ²。
• 选择题例题：最可能 8、乐观 7、悲观 12 → 期望 = (7+4×8+12)/6 = 8.5 ≈ 9（β分布）；或三角分布 (7+8+12)/3=9，教材答案选 C。

系统解读（平实分点）

1. 一句话理解：单估一个工期不靠谱，就估 " 最好/正常/最差 " 三个数，用公式揉成一个期望工期（偏重最可能值）；再把各工序的期望、波动（方差）沿关键路径加起来，得到整个项目的 " 期望工期±标准差 "，然后用正态分布算 " 几号前干完的概率 "。
2. te 公式：β分布 te=(a+4m+b)/6, 最可能 m 权重 4，最可靠；σ=(b−a)/6 是 " 悲观减乐观再六等分 "，代表波动幅度；方差=σ²。
3. 项目层叠加：关键路径上活动相互独立时，期望相加 T=Σte，方差相加 σ²=Σσᵢ²（注意是方差相加不是标准差相加！），σ=√σ²。
4. 正态概率：假设项目总工期≈正态分布，Z=(目标工期 D − T)/σ；查标准正态表或用 68-95-99.7 经验：±1σ≈68%、±2σ≈95%、±3σ≈99.7%；单侧 "≤均值 "=50%。
5. 前提与局限：PERT 假定各活动独立、近似正态（活动多时由中心极限定理成立）。考试默认这条；若活动极少，正态只是近似。

工程举例（土木类比对照表 + 例题）

单活动小例：某工序 a=2、m=5、b=11（天）。te=(2+4×5+11)/6=33/6=5.5；σ=(11−2)/6=1.5；方差=2.25。

项目 PERT 例（教材 OA 项目，4 活动关键链）：

活动	te=(a+4m+b)/6	σ=(b−a)/6	方差 σ²
①	11	1.333	1.778
②	21	3.667	13.445
③	7	0.667	0.445
④	12	1.667	2.778
合计	T=51	,	σ²=18.446

• 项目期望 T=51 天；标准差 σ=√18.446≈4.29 天。
• 概率（正态分布）：±1σ（46.7\~55.3）内完工≈68%；±2σ（42.4\~59.6）≈95%；±3σ（38.1\~63.9）≈99.7%；≤51 天 = 50%；≤39 天 ≈ 0.26%（教材取 " 约 0.5%、几乎为零 " 的近似说法，精确约 0.26%）。

高项概念	土木 / 施工类比
乐观时间 a	大晴天、一切顺，工序最快几天
最可能时间 m	正常天气、常规工况的工期
悲观时间 b	连暴雨、返工、窝工的最慢工期
te 期望	加权后的 " 靠谱平均工期 "
σ / 方差	这工序工期的波动幅度（越不稳越大）
PERT 概率	" 业主 51 天内完工 " 有多大把握

追问引导

• 三点估算里 β分布与三角分布的 te 公式有何不同？高项考试默认用哪个？
• 项目层叠加时，为什么是 " 方差相加 " 而不是 " 标准差相加 "？若把各 σ 直接相加会得到什么错误结果？
• σ=(b−a)/6 中除以 6 的直觉是什么？（提示：6σ 覆盖几乎全部可能）
• 本例 "≤39 天 " 的概率为什么接近 0？它离均值多少个 σ？
• 若某非关键路径活动也给了 a/m/b，做 PERT 概率时要不要把它加进方差？为什么？（提示：PERT 通常只累加关键路径；但若非关键活动有风险溢出需另论）