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第21章 运输问题精讲（VIP专享）：章节位置：第 21 章 项目管理科学基础 → 21.2.2 运输问题（表上作业法）系统梳理该考点的核心定义、原理与高频易错点，配真题示例与记忆口诀，从原理到实战一次吃透，稳拿对应分值。
deepread21｜第21章 运输问题详解
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deepread21｜第21章 运输问题详解
一、定位
- 章节位置：第 21 章 项目管理科学基础 → 21.2.2 运输问题（表上作业法）。
- 知识链条：多个产地、多个销地、供需与单价已知，求使总运费最低的调运方案。是线性规划的特殊形（供需平衡调运）。
- 考试分量：综合知识考 " 研究什么问题 "；计算/案例考表上作业法，最小元素法（或伏格尔法）求初始解 → 位势法求检验数 → 闭回路法调整至最优。
二、教材原文精摘
以下依据第 4 版教材第 21 章 21.2.2 节。fetch 不全标注：例 21-9（3 产地 4 销地）仅录 " 最小元素法得初始运费 S=79、最优方案 " 等结论性数字，未录完整单位运价表与供需表，无法逐格复算。下方用自行构造的 3×3 完整例题演示全部算法步骤，数字均经手算核对。
- 定义：把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，各地供应量、需求量、运输单价已知，确定一个使总运输费用最低的方案。
- 方法（表上作业法）：①最小元素法/伏格尔法求初始解；②位势法（对偶变量法）求检验数；③闭回路法调整；迭代至检验数全 ≥0。
三、系统解读（平实分点）
- 一句话理解：几个搅拌站（产地）往几个工地（销地）送料，每公里单价不同，怎么调让总运费最低，这就是运输问题。
- 最小元素法：每次挑 " 当前最便宜 " 的格子优先发货（单价最小），尽量填满，直到供需求都满足。快但初始解常不是最优。
- 伏格尔法（Vogel）：更聪明，先算每行/列 " 次小−最小 " 的罚款（penalty），罚款大的行/列说明 " 不优先发最便宜的就亏很多 "，优先处理它。伏格尔法初始解通常更接近最优。
- 位势法求检验数：给每行 i 一个势 uᵢ、每列 j 一个势 vⱼ，对基格满足 uᵢ+vⱼ=cᵢⱼ；非基格检验数 σᵢⱼ = cᵢⱼ − (uᵢ+vⱼ)。σ\<0 说明该格还能降运费，要调整。
- 闭回路法调整：对每个 σ\<0 的格，在以基格为顶点的闭回路上，+θ/−θ 调整（θ=回路中减号格的最小运量），运费降 θ×|σ|。重复直到所有 σ≥0 → 最优。
四、工程举例（土木类比 + 数值）
例题（构造，3 产地 3 销地，供需平衡）：单位运价表（元/吨）、供应量、需求量如下。求最低运费调运方案。
| 产地＼销地 | B1 | B2 | B3 | 供应 |
|---|---|---|---|---|
| A1 | 5 | 8 | 8 | 20 |
| A2 | 6 | 5 | 9 | 40 |
| A3 | 5 | 6 | 7 | 30 |
| 需求 | 30 | 30 | 30 | 90 |
最小元素法初始解（基格 5 个）：A1→B1:20，A2→B2:30，A3→B1:10，A3→B3:20，A2→B3:10。
运费 = 20×5 + 30×5 + 10×5 + 20×7 + 10×9 = 100+150+50+140+90 = 530。
伏格尔法初始解（惩罚法）：同样得到 A1→B1:20，A2→B2:30，A3→B1:10，A3→B3:20，A2→B3:10，运费 530（本例两法巧合同解）。
位势法检验：令 u₂=0 → v₂=5, v₃=9；u₃=−2, v₁=7；u₁=−2。非基格检验数：σ(A1B2)=5，σ(A1B3)=1，σ(A2B1)=6−(0+7)=−1，σ(A3B2)=3。σ(A2B1)=−1\<0 → 可改进。
闭回路调整：对入基格 (A2,B1) 找闭回路 (A2,B1)⁺→(A2,B3)⁻→(A3,B3)⁺→(A3,B1)⁻→(A2,B1)。减号格运量 min(10,10)=10=θ。调整：A2B1:0+10=10，A2B3:10−10=0，A3B3:20+10=30，A3B1:10−10=0（退化为 0 基格）。
新运费 = 530 − 10×1 = 520。
再验位势：新基格（含退化 0）得 σ 全 ≥0（σ(A1B2)=4, σ(A1B3)=1, σ(A2B3)=1, σ(A3B2)=2）→ 最优 520。
最优方案：A1→B1:20，A2→B1:10，A2→B2:30，A3→B3:30，A3→B1:0（退化）。
| 高项概念 | 土木 / 施工类比 |
|---|---|
| 产地/销地 | 搅拌站 / 工地 |
| 单位运价 | 每吨每公里运费 |
| 最小元素法 | 哪条线最便宜先发哪条 |
| 伏格尔法 | 先解决 " 不便宜就亏大 " 的线路 |
| 闭回路调整 | 在已定调运圈上挪量降总成本 |
五、追问引导
- 运输问题为什么是 " 线性规划的特殊形 "？它比一般线性规划多了什么结构（供需平衡、产地×销地基格）？
- 最小元素法和伏格尔法求的都是 " 初始解 "，为什么通常还要用闭回路法继续调？
- 位势法里 uᵢ+vⱼ=cᵢⱼ 只对基格成立，为什么？检验数 σ\<0 的经济含义是什么（换了这格发运能省多少钱）？
- 闭回路为什么一定存在且唯一定向？θ 为什么取 " 减号格最小运量 "（保证不出现负运量）？
- 退化解（某基格运量=0）是怎么产生的？为什么还要把它保留为基格（保持 m+n−1 个基格）？
