calculate7｜第 2 章 线性规划与对策论分步解题

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calculate7｜第 2 章 线性规划与对策论分步解题

配套动画：calculate21｜第 2 章 线性规划与对策论解题动画.html

考点：零和矩阵对策的纯策略纳什均衡（鞍点）。选择题 + 计算题高频，与线性规划同属运筹学。

一、题目（收益矩阵 A，甲收益、乙为 −A）

	β₁	β₂	β₃
α₁	1	2	5
α₂	5	3	6
α₃	4	2	1

甲、乙两家施工单位投暗标，求最优纯策略与对策值。

二、概念

• 三要素：局中人（甲/乙）、策略（α₁α₂α₃ / β₁β₂β₃）、赢得矩阵 A（甲的收益）。
• 零和：甲收益 = 乙损失。鞍点 = 纯策略纳什均衡。

三、分步计算

第一步 甲：行最小取最大（maximin）

• 每行最小值（甲最坏保底）：
• α₁: min(1, 2, 5) = 1
• α₂: min(5, 3, 6) = 3
• α₃: min(4, 2, 1) = 1
• maximin = max(1, 3, 1) = 3 → 甲选 α₂，保底 3。

第二步 乙：列最大取最小（minimax）

• 每列最大值（乙视角最坏=甲最多拿）：
• β₁: max(1, 5, 4) = 5
• β₂: max(2, 3, 2) = 3
• β₃: max(5, 6, 1) = 6
• minimax = min(5, 3, 6) = 3 → 乙选 β₂，限甲至多 3。

第三步 判定鞍点

• maximin = 3，minimax = 3，二者相等 ⇒ 存在纯策略纳什均衡（鞍点）。
• 交点格 (α₂, β₂) = 3 即鞍点；对策值 v = 3。
• 校验：该格横看是行最小 (3)、竖看是列最大 (3)，既 " 行最低 " 又 " 列最高 "。

四、结果汇总

步骤	计算	结论
行最小	1, 3, 1	maximin=3（甲选 α₂）
列最大	5, 3, 6	minimax=3（乙选 β₂）
鞍点	maximin=minimax	存在，格 (α₂,β₂)=3
对策值	v	3

五、易错点 & 记忆

• 鞍点判据：maximin = minimax 才存在纯策略均衡；否则需混合策略（按概率出招）。
• 口诀：「行最小取大、列最大取小，相等即鞍点，值就是对策值」。
• 工程类比：两家施工队投暗标，甲要保证 " 对手无论怎么报，自己最坏也不低于某值 "，乙要把甲限到最低；两者交点就是谁先动都不吃亏的均衡报价。

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公式依据：运筹学矩阵对策标准方法（教材第 2 章含三要素与鞍点概念）。已与 calculate21 动画数值一致。