calculate5｜第2章 排队论分步解题

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calculate5｜第2章 排队论分步解题

配套动画：calculate20｜第 2 章 排队论解题动画.html

考点：排队论 M/M/1 模型（Little 公式体系），选择题与计算题均常考，也是运维容量规划的量化工具。

一、题目

某单人服务台系统，顾客平均到达率 λ = 4 人/小时，服务台平均服务率 μ = 5 人/小时。到达间隔与服务时间均服从指数分布，即标准 M/M/1 模型。

求：利用率 ρ、系统平均人数 Lₛ、队列平均人数 L\_q、平均逗留时间 Wₛ、平均等待时间 W\_q、顾客需等待的概率。

二、建模与前提

• M/M/1：第 1 个 M = 到达过程为泊松过程（到达间隔指数分布）；第 2 个 M = 服务时间指数分布；1 = 1 个服务台。
• 稳定性前提：必须 ρ = λ/μ \< 1。本题 4/5 = 0.8 \< 1，系统稳定。
• 工程类比：服务台像搅拌站卸料口，每小时来 4 车（λ）、能卸 5 车（μ），卸料口 80% 时间被占用。

三、分步计算

第 1 步 利用率 ρ

• 公式：ρ = λ / μ
• 计算：ρ = 4 / 5 = 0.8
• 含义：服务台平均 80% 时间忙、20% 空闲。

第 2 步 系统平均人数 Lₛ

• 公式：Lₛ = λ / (μ − λ) = ρ / (1 − ρ)
• 计算：Lₛ = 4 / (5 − 4) = 4 / 1 = 4
• 含义：系统里平均同时有 4 个单位（正在服务 + 排队）。

第 3 步 队列平均人数 L\_q

• 公式：L\_q = ρ² / (1 − ρ) = ρ × Lₛ
• 计算：L\_q = 0.8² / (1 − 0.8) = 0.64 / 0.2 = 3.2
• 校验：Lₛ = L\_q + ρ = 3.2 + 0.8 = 4 ✓

第 4 步 平均逗留时间 Wₛ（含排队 + 服务）

• 公式：Wₛ = 1 / (μ − λ) = Lₛ / λ
• 计算：Wₛ = 1 / (5 − 4) = 1 小时
• 校验（Little）：Lₛ = λ × Wₛ = 4 × 1 = 4 ✓

第 5 步 平均等待时间 W\_q（仅排队）

• 公式：W\_q = ρ / (μ − λ) = L\_q / λ
• 计算：W\_q = 0.8 / 1 = 0.8 小时 = 48 分钟
• 校验：L\_q = λ × W\_q = 4 × 0.8 = 3.2 ✓

第 6 步 顾客需等待的概率

• 公式：P(等待) = ρ
• 计算：P(等待) = 0.8（即 80% 的顾客来了得排队）
• 空闲概率 P₀ = 1 − ρ = 0.2

四、结果汇总

指标	公式	结果
利用率 ρ	λ/μ	0.8（80%）
系统人数 Lₛ	λ/(μ−λ)	4
队列人数 L\_q	ρ²/(1−ρ)	3.2
逗留时间 Wₛ	1/(μ−λ)	1 小时
等待时间 W\_q	ρ/(μ−λ)	0.8 小时 = 48 分
等待概率	ρ	0.8

五、易错点 & 记忆

• ρ ≥ 1 系统不稳定、队列无限增长（容量规划必须留余量，这是运维 SLA 的数学根）。
• 时间单位：λ、μ 用 " 人/小时 " ⇒ W 结果是 " 小时 "，别和分钟混。
• 口诀：「ρ=λ/μ；Ls=λ/(μ−λ)；Lq=ρ·Ls；Ws=1/(μ−λ)；Wq=ρ·Ws；P 等=ρ」。
• Little 公式 L = λW 是校验利器，每步都可用它自洽验证。

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公式依据：运筹学排队论 M/M/1 标准方法，教材第 2 章数学统计基础（期望/方差/伯努利）提供概率支撑。已与 calculate20 动画数值一致。